Logo
Vytisknout tuto stránku

FRAKTÁLY

Ohodnotit tuto položku
(0 hlasů)

 

Jsou všude - zvláštní, krásné výrazné obrazce nazývané fraktály. Ale co to vlastně jsou fraktály? Jsou to v podstatě geometrické obrazce, stejně jako třeba čtverce, kružnice nebo trojúhelníky, ale mají určité vlastnosti, které ostatní geometrické obrazce nemají. Hodně přírodních objektů - mraky, pobřeží, rostliny, stromy - má strukturu fraktálů. Není jednoduché dobrat se definice toho, co to vlastně fraktály jsou.

 

images

 

Technická definice fraktálu, přestože by byla přesná, by vám jasno neudělala – používá matematické výrazy a pojmy pro „normální lidi“ zcelanesrozumitelné. Nejjednodušší by bylo říci, že fraktál je obrazec, u kterého jekaždá sebemenší část po zvětšení velice podobná části, z které byla vybrána. Jeto jako v přírodě – např. díváte-li se na skály zdálky, pak přijdete blíž, aještě blíž, až se nakonec díváte na nějaký útvar třeba z jednoho metru – pořád je to svým způsobem velice podobné. Obrazce mají podobný charakter přirůzných velikostech.

Pokud byla ale tato podobnost byla přesná, bylo by to nudné – viděli bychom pořád to samé. Naštěstí se určité parametry mohou měnit a toprávě vytváří tu nekonečnou různost, pestrost a krásu fraktálů. To, co se přivytváření fraktálů děje, je tzv. iterační proces – z poměrnějednoduchého vzorce vezmeme výsledek a opět ho vložíme do původního vzorce jakovstup. A tak pořád dál a dál. Možná tušíte, že potom malá odchylka údaje naúplném začátku může způsobit po několika krocích výrazně jiné výsledky.

Pro částečné pochopení základní struktury a vlastnosti fraktálů si pojďte sami udělat jeden známý fraktál, nazývaný Sierpinského trojúhelník.

Nakreslete si rovnostranný trojúhelník (obr. 1). Propojte přímkamistředy všech tří stran. Vzniknou celkem 4 menší rovnostranné trojúhelníky. Tenprostřední vyjměte – jakobyste do původního trojůhelníku udělali díru tohototvaru (obr. 2). Se zbývajícími třemi trojúhelníky udělejte stejnou operaci u každého propojte středy všech tří stran a opět „vyjměte“ prostřední zečtyř vzniklých menších rovnostranných trojúhelníků (obr. 3). A znovu totéž teď už máte 9 malých trojúhelníků, u každého opět propojíte středy všechtří stran a prostřední trojúhelník „odstraníte“(obr. 4). A tak by se dalopokračovat pořád dál (obr. 5), teoreticky donekonečna. Vznikající obrazec mátu vlastnost, že se jeho základní struktura neustále opakuje, ať si ho zvětšítenebo zmenšíte jakkoliv, vždy uvidíte podobnou strukturu se stejným typem arozli­šením detailů. To je ta jedna ze základních vlastností fraktálu.

Slovo „fraktál“ bylo vytvořeno teprve asi před dvaceti lety jednímz nejkreativnějších matematiků historie, Benoitem Mandelbrotem – jehoseminární práce na téma Fraktální geometrie přírody poprvé představilaa vysvětlila koncept jeho nové vize. Název „fraktál“ odvodil Mandelbrot zlatinského slova „frangere“, což znamená rozdělit, fragmentovat. Nazvaljím strukturu, která si při zvětšování (přibližování) udržuje svoji složitost,nezjednodušuje se. Čím více se přiblížíte, tím více detailů vidíte. Nekonečno vmatematice je implicitní a nevidi­telné, ale ve fraktálech je grafickyviditelně manifestované. Fraktály tak graficky vyjadřují pojem „světů uvnitřsvětů“, kterým se západní kultura zabývá již po staletí.

Mnoho lidí, kteří se s fraktály setkají, je jimi unešeno. Umožňujítvorbu překrásných obrázků a jsou zábavným koníčkem. Mají ale nějaké reálnévyužití? Proč jsou tak zajímavé pro matematiky? Je to pro mnoho jejichspecifických vlastností, jako je symetrie, jednoduchost a složitost zároveň,částečná podobnost atd. Velice se liší od jednoduchých čar a křivek,znázorňujících běžné matematické rovnice – při rekurzívním opakování tvořívelice komplexní předem nepředvídatelné struktury a zdá se, že s jejich pomocílze předpovídat složité a zdánlivě náhodné procesy.

Program pro tvorbu fraktálů v počítači

Ze základních výše uvedených informací je zřejmé, že tvorba fraktálu rekurzívní obměnou vstupníchhodnot poměrně jednoduchých rovnic je úloha jako stvořená pro osobní počítače.Naprogramovat tvorbu fraktálu není složité a existuje proto dostatek různýchpočítačových programů, které se fraktály zabývají. Jsou k dispozici i naInternetu a to i zcela zdarma. Jedním z nich je např. program Fractal Forge(stáhnete si ho zdarma z adresy www.fractovia.org/fractal_generators/download/v souboru ff_282.zip.

Po spuštění programu (FractalForge.exe) a kliknutí na Startse zobrazí základní fraktál v barvách Standard. Vpravo od vygenerovanéhoobrázku (viz obr. 6) je ovládací panel s několika záložkami – Data,Colors, Size, History list. Zkuste měnit různé hodnoty -např. hodnotu Real part z původních -0,75 na 0, kliknětena Start a uvidíte, co to udělá. Pak si zkuste změnit Imaginary partz 0 na 1 (a zase Start). Kliknutím na Start vždyvygenerujete nový obrázek. Teď změňte třeba Iterations ze 100 na 1000a opět se podívejte, co se stalo. Více iterací znamená přesnější výsledek,ale trvá to déle.

Myší můžete zvolit ve vygenerovaném obrázku čtvercovou oblast a pouvolnění tlačítka myši se vybraná oblast zvětší na celé okno. Lze postupovatopakovaně a objevovat tak, co se ve fraktálu skrývá, onu výše zmíněnou„nekonečnost“. Obrázek se neustále počítá, takže jakýmkoliv zvětšenímnedochází ke snížení rozlišení.

Můžete si hrát i s barvami. Na záložce Colors zvolítevykreslovací algorit­mus (Drawing algorithm) a sekvenci barev (Colorsequence), zaškrtnete Preview, a tlačítkem pod Color cyclingspustíte doprava nebo doleva výměnu barev. Uvidíte. Proces se dá kdykoliv(prostředním tlačítkem) stopnout a ob­rázek, který se vám obzvláště líbí,uložit. Obrázky se ukládají ve formátu PNG, JPG nebo BMP. Takto uložené obrázkysi můžete pak samozřejmě prohlížet v kterémkoliv běžném programu pro práci sobrázky. Prohlížení si můžete vy­zkoušet aniž jste cokoliv uložili, protože vprogramu je v ad­resáři images připraveno 41 hotových ukázkovýchfraktálů.

Pokud se nechcete zabývat programem, ale jen si prohlédnout nějaképěkné fraktály, najdete jich množství hotových vygenerovaných na Internetu.Stačí do vyhledávače zadat heslo „fractal“. Najdete samozřejmě i mnoho více čiméně podrobných a více či méně odborných informací na toto téma. Zkuste třebaadresy:

 

© RO marketing s.r.o.